मान लीजिए $a = \min \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x \cos x}{e^x - e^{-x}}$. तो $\sum_{r=0}^n a^r b^{n-r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूह हैं जैसे कि $|A|=3$ और $|B|=2$ है। तो $\left|A^{T} A(\operatorname{adj}(2A))^{-1}(\operatorname{adj}(4B))(\operatorname{adj}(AB))^{-1} AA^{T}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $A$,$n$ कोटि का एक विषम-सममित आव्यूह (skew-symmetric matrix) है और $C$,$n \times 1$ कोटि का एक स्तंभ आव्यूह है,तो $C^T AC$ क्या है?

यदि $ A = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) & \cot^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ और $ B = \begin{bmatrix} -\cos^{-1}(\pi x) & \tan^{-1}(\frac{x}{\pi}) \\ \sin^{-1}(\frac{x}{\pi}) & -\tan^{-1}(\pi x) \end{bmatrix} $ है,तो $ A - B $ का मान क्या है?

यदि $A$ कोटि $3$ का एक व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह है,इस प्रकार कि $(A-2I)(A-4I)=0$,तो $\frac{1}{6}A + \frac{4}{3}A^{-1}$ का मान क्या है? (जहाँ $I$ कोटि $3$ का इकाई आव्यूह है और $0$ कोटि $3$ का शून्य आव्यूह है)।

यदि $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & -3 \\ 4 & 3 & 1 \\ -5 & 7 & 2\end{array}\right]$ को एक सममित आव्यूह $P$ और एक विषम-सममित आव्यूह $Q$ के योग के रूप में व्यक्त किया जाता है,तो $P^{T}-Q^{T}=$